פתור את x^3+2x^2+6x+12=0

$$x ^ { 3 } + 2 x ^ { 2 } + 6 x + 12 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\sqrt{6}i\approx 2.449489743i$$

$$x=-2$$

$$x=-\sqrt{6}i\approx -0-2.449489743i$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 12 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±12,±6,±4,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+2x^{2}+6x+12 ב- ‎x+2 כדי לקבל ‎x^{2}+6. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+6=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎6 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±\sqrt{-24}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x^{2}+6=0 כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=-\sqrt{6}i x=\sqrt{6}i$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-2 x=-\sqrt{6}i x=\sqrt{6}i$$

פתור עבור x

$$x=-2$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 12 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±12,±6,±4,±3,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$x=-2$$

לפי משפט הגורמים , x-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎x^{3}+2x^{2}+6x+12 ב- ‎x+2 כדי לקבל ‎x^{2}+6. פתור את המשוואה כאשר התוצאה שווה ל 0.

$$x^{2}+6=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎6 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 6}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{0±\sqrt{-24}}{2}$$

מאחר שהשורש הריבועי של מספר שלילי אינו מוגדר בשדה הממשי, לא קיימים פתרונות.

$$x\in \emptyset$$

פרט את כל הפתרונות שנמצאו.

$$x=-2$$