פתור את x^2-x-7=20

$$x ^ { 2 } - x - 7 = 20$$

פתור עבור x

$$x = \frac{\sqrt{109} + 1}{2} \approx 5.720153254$$

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}\approx -4.720153254$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-x-7=20$$

החסר ‎20 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-x-7-20=20-20$$

החסרת 20 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-x-7-20=0$$

החסר ‎20 מ- ‎-7.

$$x^{2}-x-27=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- -27 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-27\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-27.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+108}}{2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎108.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{109}}{2}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±\sqrt{109}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±\sqrt{109}}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎\sqrt{109}.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±\sqrt{109}}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎\sqrt{109} מ- ‎1.

$$x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x-7=20$$

הוסף ‎7 לשני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-x-7-\left(-7\right)=20-\left(-7\right)$$

החסרת -7 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-x=20-\left(-7\right)$$

החסר ‎-7 מ- ‎20.

$$x^{2}-x=27$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=27+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=27+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎27 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{109}{4}$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{109}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{109}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{109}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{109}}{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{\sqrt{109}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{109}}{2}$$