פתור את x^2-x=42

$$x ^ { 2 } - x = 42$$

פתור עבור x

$$x=-6$$

$$x=7$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

החסר ‎42 משני האגפים.

$$x^{2}-x-42=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}-x-42 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=-42$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-7 b=6$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-7=0 ו- x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

החסר ‎42 משני האגפים.

$$x^{2}-x-42=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-42. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -42.

$$1,-42 2,-21 3,-14 6,-7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-42=-41 2-21=-19 3-14=-11 6-7=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-7 b=6$$

שכתב את ‎x^{2}-x-42 כ- ‎\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(6x-42\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-7\right)+6\left(x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-7\right)\left(x+6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-7=0 ו- x+6=0.

$$x=7 x=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-x=42$$

החסר ‎42 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-x-42=42-42$$

החסרת 42 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-x-42=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- -42 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-42.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+168}}{2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎168.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{169}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±13}{2}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$x=\frac{1±13}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±13}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎13.

$$x=\frac{14}{2}$$

חלק את ‎14 ב- ‎2.

$$x=7$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{1±13}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎1.

$$x=-\frac{12}{2}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎2.

$$x=-6$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=7 x=-6$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-x=42$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎42 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

פרק x^{2}-x+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=7 x=-6$$