פתור את x^2-7x-30=0

$$x ^ { 2 } - 7 x - 30 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-3$$

$$x=10$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}-7x-30 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-10 b=3$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-10=0 ו- x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-30. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=1\left(-30\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-10 b=3$$

שכתב את ‎x^{2}-7x-30 כ- ‎\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(3x-30\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-10\right)\left(x+3\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-10=0 ו- x+3=0.

$$x=10 x=-3$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-7x-30=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -7 במקום b, וב- -30 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

‎-7 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\left(-30\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-30.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2}$$

הוסף את ‎49 ל- ‎120.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2}$$

ההופכי של ‎-7 הוא ‎7.

$$x=\frac{7±13}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±13}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎7 ל- ‎13.

$$x=\frac{20}{2}$$

חלק את ‎20 ב- ‎2.

$$x=10$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{7±13}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎7.

$$x=-\frac{6}{2}$$

חלק את ‎-6 ב- ‎2.

$$x=-3$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=10 x=-3$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-7x-30=0$$

הוסף ‎30 לשני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-7x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

החסרת -30 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-7x=-\left(-30\right)$$

החסר ‎-30 מ- ‎0.

$$x^{2}-7x=30$$

חלק את ‎-7, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=30+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=30+\frac{49}{4}$$

הוסף את ‎30 ל- ‎\frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{169}{4}$$

פרק את ‎x^{2}-7x+\frac{49}{4} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{13}{2}$$

הוסף ‎\frac{7}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=10 x=-3$$