פתור את x^2-6x+2>0

$$x ^ { 2 } - 6 x + 2 > 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(-\infty,3-\sqrt{7}\right)\cup \left(\sqrt{7}+3,\infty\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-6x+2=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-6 ב- b ואת ‎2 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\sqrt{7}+3 x=3-\sqrt{7}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{7}\right)\right)>0$$

כדי שהמכפלה תהיה חיובית, ‎x-\left(\sqrt{7}+3\right) ו- ‎x-\left(3-\sqrt{7}\right) חייבים שניהם להיות שליליים או חיוביים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\left(\sqrt{7}+3\right) ו- ‎x-\left(3-\sqrt{7}\right) שניהם שליליים.

$$x-\left(\sqrt{7}+3\right)<0 x-\left(3-\sqrt{7}\right)<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x<3-\sqrt{7}.

$$x<3-\sqrt{7}$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\left(\sqrt{7}+3\right) ו- ‎x-\left(3-\sqrt{7}\right) שניהם חיוביים.

$$x-\left(3-\sqrt{7}\right)>0 x-\left(\sqrt{7}+3\right)>0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x>\sqrt{7}+3.

$$x>\sqrt{7}+3$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x<3-\sqrt{7}\text{; }x>\sqrt{7}+3$$