פתור את x^2-4x+1=0

$$x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

פתור עבור x

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3.732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0.267949192$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-4x+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -4 במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

‎-4 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎-4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

חלק את ‎4+2\sqrt{3} ב- ‎2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2\sqrt{3} מ- ‎4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

חלק את ‎4-2\sqrt{3} ב- ‎2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+1=0$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

החסרת 1 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-4x=-1$$

חלק את ‎-4, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-2. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -2 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

‎-2 בריבוע.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

פרק x^{2}-4x+4 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

פשט.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

הוסף ‎2 לשני אגפי המשוואה.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$