פתור את x^2-3x-108?

$$x ^ { 2 } - 3 x - 108 ?$$

פרק לגורמים

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- x^{2}+ax+bx-108. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=1\left(-108\right)=-108$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -108.

$$1,-108 2,-54 3,-36 4,-27 6,-18 9,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-108=-107 2-54=-52 3-36=-33 4-27=-23 6-18=-12 9-12=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=-12 b=9$$

שכתב את ‎x^{2}-3x-108 כ- ‎\left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(9x-108\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-12\right)+9\left(x-12\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-12 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-3x-108=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-108\right)}}{2}$$

‎-3 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-108\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-108.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+432}}{2}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎432.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{441}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 441.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±21}{2}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$x=\frac{3±21}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±21}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎21.

$$x=\frac{24}{2}$$

חלק את ‎24 ב- ‎2.

$$x=12$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±21}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎21 מ- ‎3.

$$x=-\frac{18}{2}$$

חלק את ‎-18 ב- ‎2.

$$x=-9$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎12 במקום x_{1} וב- ‎-9 במקום x_{2}.

$$x^{2}-3x-108=\left(x-12\right)\left(x-\left(-9\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$x^{2}-3x-108=\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$

הערך

$$\left(x-12\right)\left(x+9\right)$$