פתור את x^2-23x+132=0

$$x ^ { 2 } - 23 x + 132 = 0$$

פתור עבור x

$$x=11$$

$$x=12$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}-23x+132 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-23 ab=132$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 132.

$$-1,-132 -2,-66 -3,-44 -4,-33 -6,-22 -11,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-132=-133 -2-66=-68 -3-44=-47 -4-33=-37 -6-22=-28 -11-12=-23$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -23.

$$a=-12 b=-11$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-12\right)\left(x-11\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-12=0 ו- x-11=0.

$$x=12 x=11$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+132. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-23 ab=1\times 132=132$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 132.

$$-1,-132 -2,-66 -3,-44 -4,-33 -6,-22 -11,-12$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-132=-133 -2-66=-68 -3-44=-47 -4-33=-37 -6-22=-28 -11-12=-23$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -23.

$$a=-12 b=-11$$

שכתב את ‎x^{2}-23x+132 כ- ‎\left(x^{2}-12x\right)+\left(-11x+132\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-11x+132\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -11 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-12\right)-11\left(x-12\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-12 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-12\right)\left(x-11\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-12=0 ו- x-11=0.

$$x=12 x=11$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-23x+132=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -23 במקום b, וב- 132 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 132}}{2}$$

‎-23 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 132}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎132.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-528}}{2}$$

הוסף את ‎529 ל- ‎-528.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{1}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$x=\frac{-\left(-23\right)±1}{2}$$

ההופכי של ‎-23 הוא ‎23.

$$x=\frac{23±1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{23±1}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎23 ל- ‎1.

$$x=\frac{24}{2}$$

חלק את ‎24 ב- ‎2.

$$x=12$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{23±1}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎23.

$$x=\frac{22}{2}$$

חלק את ‎22 ב- ‎2.

$$x=11$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=12 x=11$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-23x+132=0$$

החסר ‎132 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-23x+132-132=-132$$

החסרת 132 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-23x=-132$$

חלק את ‎-23, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{23}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{23}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-132+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{23}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-132+\frac{529}{4}$$

הוסף את ‎-132 ל- ‎\frac{529}{4}.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{1}{4}$$

פרק x^{2}-23x+\frac{529}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{1}{2}$$

הוסף ‎\frac{23}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=12 x=11$$