פתור את x^2-2x-5<0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 5 < 0$$

פתור עבור x

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-2 ב- b ואת ‎-5 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-5\right)}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{2±2\sqrt{6}}{2} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\sqrt{6}+1 x=1-\sqrt{6}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$\left(x-\left(\sqrt{6}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{6}\right)\right)<0$$

כדי שהמכפלה תהיה שלילית, הסימנים של ‎x-\left(\sqrt{6}+1\right) ו- ‎x-\left(1-\sqrt{6}\right) צריכים להיות מנוגדים. שקול את המקרה כאשר ‎x-\left(\sqrt{6}+1\right) הוא חיובי ו- ‎x-\left(1-\sqrt{6}\right) הוא שלילי.

$$x-\left(\sqrt{6}+1\right)>0 x-\left(1-\sqrt{6}\right)<0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

שקול את המקרה כאשר ‎x-\left(1-\sqrt{6}\right) הוא חיובי ו- ‎x-\left(\sqrt{6}+1\right) הוא שלילי.

$$x-\left(1-\sqrt{6}\right)>0 x-\left(\sqrt{6}+1\right)<0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right).

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \left(1-\sqrt{6},\sqrt{6}+1\right)$$