פתור את x^2-16x+48=0

$$x ^ { 2 } - 16 x + 48 = 0$$

פתור עבור x

$$x=4$$

$$x=12$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}-16x+48 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-16 ab=48$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -16.

$$a=-12 b=-4$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-12\right)\left(x-4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-12=0 ו- x-4=0.

$$x=12 x=4$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+48. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-16 ab=1\times 48=48$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -16.

$$a=-12 b=-4$$

שכתב את ‎x^{2}-16x+48 כ- ‎\left(x^{2}-12x\right)+\left(-4x+48\right).

$$\left(x^{2}-12x\right)+\left(-4x+48\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -4 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-12\right)-4\left(x-12\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-12 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-12\right)\left(x-4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-12=0 ו- x-4=0.

$$x=12 x=4$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-16x+48=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -16 במקום b, וב- 48 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 48}}{2}$$

‎-16 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 48}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎48.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-192}}{2}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎-192.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{64}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8}{2}$$

ההופכי של ‎-16 הוא ‎16.

$$x=\frac{16±8}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{16±8}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎16 ל- ‎8.

$$x=\frac{24}{2}$$

חלק את ‎24 ב- ‎2.

$$x=12$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{16±8}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎8 מ- ‎16.

$$x=\frac{8}{2}$$

חלק את ‎8 ב- ‎2.

$$x=4$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=12 x=4$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-16x+48=0$$

החסר ‎48 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-16x+48-48=-48$$

החסרת 48 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-16x=-48$$

חלק את ‎-16, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-8. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -8 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-48+\left(-8\right)^{2}$$

‎-8 בריבוע.

$$x^{2}-16x+64=-48+64$$

הוסף את ‎-48 ל- ‎64.

$$x^{2}-16x+64=16$$

פרק x^{2}-16x+64 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=16$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

פשט.

$$x-8=4 x-8=-4$$

הוסף ‎8 לשני אגפי המשוואה.

$$x=12 x=4$$