פתור את x^2-15x+100=0

$$x ^ { 2 } - 15 x + 100 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}\approx 7.5+6.614378278i$$

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}\approx 7.5-6.614378278i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-15x+100=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -15 במקום b, וב- 100 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 100}}{2}$$

‎-15 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 100}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎100.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-400}}{2}$$

הוסף את ‎225 ל- ‎-400.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{-175}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -175.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±5\sqrt{7}i}{2}$$

ההופכי של ‎-15 הוא ‎15.

$$x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎15 ל- ‎5i\sqrt{7}.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{15±5\sqrt{7}i}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎5i\sqrt{7} מ- ‎15.

$$x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x+100=0$$

החסר ‎100 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-15x+100-100=-100$$

החסרת 100 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-15x=-100$$

חלק את ‎-15, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{15}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{15}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-100+\frac{225}{4}$$

הוסף את ‎-100 ל- ‎\frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=-\frac{175}{4}$$

פרק x^{2}-15x+\frac{225}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=-\frac{175}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{175}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{7}i}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{7}i}{2}$$

הוסף ‎\frac{15}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{15+5\sqrt{7}i}{2} x=\frac{-5\sqrt{7}i+15}{2}$$