פתור את x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

פתור עבור x

$$x=6$$

$$x=7$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}-13x+42 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-13 ab=42$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -13.

$$a=-7 b=-6$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-7=0 ו- x-6=0.

$$x=7 x=6$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx+42. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -13.

$$a=-7 b=-6$$

שכתב את ‎x^{2}-13x+42 כ- ‎\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת -6 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-7=0 ו- x-6=0.

$$x=7 x=6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}-13x+42=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -13 במקום b, וב- 42 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

‎-13 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

הוסף את ‎169 ל- ‎-168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

ההופכי של ‎-13 הוא ‎13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{13±1}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎13 ל- ‎1.

$$x=\frac{14}{2}$$

חלק את ‎14 ב- ‎2.

$$x=7$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{13±1}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎13.

$$x=\frac{12}{2}$$

חלק את ‎12 ב- ‎2.

$$x=6$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=7 x=6$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

החסר ‎42 משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

החסרת 42 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}-13x=-42$$

חלק את ‎-13, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{13}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{13}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{13}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

הוסף את ‎-42 ל- ‎\frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

פרק את ‎x^{2}-13x+\frac{169}{4} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

פשט.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

הוסף ‎\frac{13}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$x=7 x=6$$