פתור את x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-40$$

$$x=9$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}+31x-360 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=31 ab=-360$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 31.

$$a=-9 b=40$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-9=0 ו- x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-360. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 31.

$$a=-9 b=40$$

שכתב את ‎x^{2}+31x-360 כ- ‎\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 40 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-9=0 ו- x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}+31x-360=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- 31 במקום b, וב- -360 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

‎31 בריבוע.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

הוסף את ‎961 ל- ‎1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-31±49}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-31 ל- ‎49.

$$x=\frac{18}{2}$$

חלק את ‎18 ב- ‎2.

$$x=9$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-31±49}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎49 מ- ‎-31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

חלק את ‎-80 ב- ‎2.

$$x=-40$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=9 x=-40$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

הוסף ‎360 לשני אגפי המשוואה.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

החסרת -360 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

החסר ‎-360 מ- ‎0.

$$x^{2}+31x=360$$

חלק את ‎31, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎\frac{31}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של \frac{31}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎\frac{31}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

הוסף את ‎360 ל- ‎\frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

פרק את ‎x^{2}+31x+\frac{961}{4} לגורמים. באופן כללי, כאשר x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים כ- \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

פשט.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

החסר ‎\frac{31}{2} משני אגפי המשוואה.

$$x=9 x=-40$$