פתור את x^2+2x+sqrt{2}=0

$$x ^ { 2 } + 2 x + \sqrt { 2 } = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=-1+i\sqrt{\sqrt{2}-1}\approx -1+0.643594253i$$

$$x=-i\sqrt{\sqrt{2}-1}-1\approx -1-0.643594253i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}+2x+\sqrt{2}=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- 2 במקום b, וב- \sqrt{2} במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\sqrt{2}}}{2}$$

‎2 בריבוע.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\sqrt{2}}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4-4\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2±2i\sqrt{-\left(1-\sqrt{2}\right)}}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2i\sqrt{-\left(1-\sqrt{2}\right)}}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-2 ל- ‎2i\sqrt{-\left(1-\sqrt{2}\right)}.

$$x=\frac{-2+2i\sqrt{\sqrt{2}-1}}{2}$$

חלק את ‎-2+2i\sqrt{-1+\sqrt{2}} ב- ‎2.

$$x=-1+i\sqrt{\sqrt{2}-1}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-2±2i\sqrt{-\left(1-\sqrt{2}\right)}}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎2i\sqrt{-\left(1-\sqrt{2}\right)} מ- ‎-2.

$$x=\frac{-2i\sqrt{\sqrt{2}-1}-2}{2}$$

חלק את ‎-2-2i\sqrt{-1+\sqrt{2}} ב- ‎2.

$$x=-i\sqrt{\sqrt{2}-1}-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=-1+i\sqrt{\sqrt{2}-1} x=-i\sqrt{\sqrt{2}-1}-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x+\sqrt{2}=0$$

החסר ‎\sqrt{2} משני אגפי המשוואה.

$$x^{2}+2x+\sqrt{2}-\sqrt{2}=-\sqrt{2}$$

החסרת \sqrt{2} מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}+2x=-\sqrt{2}$$

חלק את ‎2, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎1. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 1 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-\sqrt{2}+1^{2}$$

‎1 בריבוע.

$$x^{2}+2x+1=-\sqrt{2}+1$$

הוסף את ‎-\sqrt{2} ל- ‎1.

$$x^{2}+2x+1=1-\sqrt{2}$$

פרק x^{2}+2x+1 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=1-\sqrt{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{1-\sqrt{2}}$$

פשט.

$$x+1=i\sqrt{-\left(1-\sqrt{2}\right)} x+1=-i\sqrt{\sqrt{2}-1}$$

החסר ‎1 משני אגפי המשוואה.

$$x=-1+i\sqrt{\sqrt{2}-1} x=-i\sqrt{\sqrt{2}-1}-1$$