פתור את x^2+16x-512=0

$$x ^ { 2 } + 16 x - 512 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-32$$

$$x=16$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}+16x-512 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=16 ab=-512$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 16.

$$a=-16 b=32$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-16=0 ו- x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-512. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=16 ab=1\left(-512\right)=-512$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -512.

$$-1,512 -2,256 -4,128 -8,64 -16,32$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+512=511 -2+256=254 -4+128=124 -8+64=56 -16+32=16$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 16.

$$a=-16 b=32$$

שכתב את ‎x^{2}+16x-512 כ- ‎\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right).

$$\left(x^{2}-16x\right)+\left(32x-512\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 32 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-16\right)+32\left(x-16\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-16 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-16\right)\left(x+32\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-16=0 ו- x+32=0.

$$x=16 x=-32$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}+16x-512=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- 16 במקום b, וב- -512 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\left(-512\right)}}{2}$$

‎16 בריבוע.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\left(-512\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-512.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+2048}}{2}$$

הוסף את ‎256 ל- ‎2048.

$$x=\frac{-16±\sqrt{2304}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 2304.

$$x=\frac{-16±48}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±48}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-16 ל- ‎48.

$$x=\frac{32}{2}$$

חלק את ‎32 ב- ‎2.

$$x=16$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-16±48}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎48 מ- ‎-16.

$$x=-\frac{64}{2}$$

חלק את ‎-64 ב- ‎2.

$$x=-32$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=16 x=-32$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+16x-512=0$$

הוסף ‎512 לשני אגפי המשוואה.

$$x^{2}+16x-512-\left(-512\right)=-\left(-512\right)$$

החסרת -512 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}+16x=-\left(-512\right)$$

החסר ‎-512 מ- ‎0.

$$x^{2}+16x=512$$

חלק את ‎16, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎8. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 8 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+16x+8^{2}=512+8^{2}$$

‎8 בריבוע.

$$x^{2}+16x+64=512+64$$

הוסף את ‎512 ל- ‎64.

$$x^{2}+16x+64=576$$

פרק x^{2}+16x+64 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+8\right)^{2}=576$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+8\right)^{2}}=\sqrt{576}$$

פשט.

$$x+8=24 x+8=-24$$

החסר ‎8 משני אגפי המשוואה.

$$x=16 x=-32$$