פתור את x^2+14x-28leq0

$$x ^ { 2 } + 14 x - 28 \leq 0$$

פתור עבור x

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{77}-7,\sqrt{77}-7\end{bmatrix}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}+14x-28=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎14 ב- b ואת ‎-28 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 1\left(-28\right)}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{77}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎x=\frac{-14±2\sqrt{77}}{2} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$x=\sqrt{77}-7 x=-\sqrt{77}-7$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$\left(x-\left(\sqrt{77}-7\right)\right)\left(x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\right)\leq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≤0, אחד מהערכים ‎x-\left(\sqrt{77}-7\right) ו- ‎x-\left(-\sqrt{77}-7\right) צריך להיות ≥0 והשני צריך להיות ≤0. התבונן במקרה שבו x-\left(\sqrt{77}-7\right)\geq 0 ו- x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{77}-7\right)\geq 0 x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\leq 0$$

זהו שקר עבור כל x.

$$x\in \emptyset$$

התבונן במקרה שבו x-\left(\sqrt{77}-7\right)\leq 0 ו- x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\geq 0.

$$x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{77}-7\right)\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎x\in \left[-\left(\sqrt{77}+7\right),\sqrt{77}-7\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\left(\sqrt{77}+7\right),\sqrt{77}-7\end{bmatrix}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{77}-7,\sqrt{77}-7\end{bmatrix}$$