פתור את x^2+11+sqrt{x^2+11}=42

$$x ^ { 2 } + 11 + \sqrt { x ^ { 2 } + 11 } = 42$$

פתור עבור x

$$x=-5$$

$$x=5$$

שלבי פתרון

החסר ‎x^{2}+11 משני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-\left(x^{2}+11\right)$$

כדי למצוא את ההופכי של ‎x^{2}+11, מצא את ההופכי של כל איבר.

$$\sqrt{x^{2}+11}=42-x^{2}-11$$

החסר את 11 מ- 42 כדי לקבל 31.

$$\sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}$$

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(\sqrt{x^{2}+11}\right)^{2}=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{x^{2}+11} בחזקת 2 וקבל x^{2}+11.

$$x^{2}+11=\left(31-x^{2}\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(31-x^{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$x^{2}+11=961-62x^{2}+x^{4}$$

החסר ‎961 משני האגפים.

$$x^{2}+11-961=-62x^{2}+x^{4}$$

החסר את 961 מ- 11 כדי לקבל -950.

$$x^{2}-950=-62x^{2}+x^{4}$$

הוסף ‎62x^{2} משני הצדדים.

$$x^{2}-950+62x^{2}=x^{4}$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎62x^{2} כדי לקבל ‎63x^{2}.

$$63x^{2}-950=x^{4}$$

החסר ‎x^{4} משני האגפים.

$$63x^{2}-950-x^{4}=0$$

השתמש ב- ‎t במקום ‎x^{2}.

$$-t^{2}+63t-950=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎-1 ב- a, את ‎63 ב- b ואת ‎-950 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$t=\frac{-63±\sqrt{63^{2}-4\left(-1\right)\left(-950\right)}}{-2}$$

בצע את החישובים.

$$t=\frac{-63±13}{-2}$$

פתור את המשוואה ‎t=\frac{-63±13}{-2} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$t=25 t=38$$

מאחר ש- x=t^{2}, הפתרונות מתקבלים על-ידי הערכת x=±\sqrt{t}‎ עבור כל t.

$$x=5 x=-5 x=\sqrt{38} x=-\sqrt{38}$$

השתמש ב- ‎5 במקום ‎x במשוואה ‎x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$5^{2}+11+\sqrt{5^{2}+11}=42$$

פשט. הערך x=5 פותר את המשוואה.

$$42=42$$

השתמש ב- ‎-5 במקום ‎x במשוואה ‎x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-5\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-5\right)^{2}+11}=42$$

פשט. הערך x=-5 פותר את המשוואה.

$$42=42$$

השתמש ב- ‎\sqrt{38} במקום ‎x במשוואה ‎x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

פשט. הערך x=\sqrt{38} אינו עומד במשוואה.

$$56=42$$

השתמש ב- ‎-\sqrt{38} במקום ‎x במשוואה ‎x^{2}+11+\sqrt{x^{2}+11}=42.

$$\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11+\sqrt{\left(-\sqrt{38}\right)^{2}+11}=42$$

פשט. הערך x=-\sqrt{38} אינו עומד במשוואה.

$$56=42$$

פרט את כל הפתרונות של \sqrt{x^{2}+11}=31-x^{2}.

$$x=5 x=-5$$