פתור את x^2+10x-3000=0

$$x ^ { 2 } + 10 x - 3000 = 0$$

פתור עבור x

$$x=-60$$

$$x=50$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את x^{2}+10x-3000 לגורמים באמצעות הנוסחה x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=10 ab=-3000$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -3000.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 10.

$$a=-50 b=60$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(x+a\right)\left(x+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-50=0 ו- x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- x^{2}+ax+bx-3000. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=10 ab=1\left(-3000\right)=-3000$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -3000.

$$-1,3000 -2,1500 -3,1000 -4,750 -5,600 -6,500 -8,375 -10,300 -12,250 -15,200 -20,150 -24,125 -25,120 -30,100 -40,75 -50,60$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+3000=2999 -2+1500=1498 -3+1000=997 -4+750=746 -5+600=595 -6+500=494 -8+375=367 -10+300=290 -12+250=238 -15+200=185 -20+150=130 -24+125=101 -25+120=95 -30+100=70 -40+75=35 -50+60=10$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 10.

$$a=-50 b=60$$

שכתב את ‎x^{2}+10x-3000 כ- ‎\left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right).

$$\left(x^{2}-50x\right)+\left(60x-3000\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 60 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-50\right)+60\left(x-50\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-50 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-50\right)\left(x+60\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את x-50=0 ו- x+60=0.

$$x=50 x=-60$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- 10 במקום b, וב- -3000 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3000\right)}}{2}$$

‎10 בריבוע.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3000\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-3000.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12000}}{2}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎12000.

$$x=\frac{-10±\sqrt{12100}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 12100.

$$x=\frac{-10±110}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±110}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-10 ל- ‎110.

$$x=\frac{100}{2}$$

חלק את ‎100 ב- ‎2.

$$x=50$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±110}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎110 מ- ‎-10.

$$x=-\frac{120}{2}$$

חלק את ‎-120 ב- ‎2.

$$x=-60$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=50 x=-60$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+10x-3000=0$$

הוסף ‎3000 לשני אגפי המשוואה.

$$x^{2}+10x-3000-\left(-3000\right)=-\left(-3000\right)$$

החסרת -3000 מעצמו נותנת 0.

$$x^{2}+10x=-\left(-3000\right)$$

החסר ‎-3000 מ- ‎0.

$$x^{2}+10x=3000$$

חלק את ‎10, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎5. לאחר מכן הוסף את הריבוע של 5 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}+10x+5^{2}=3000+5^{2}$$

‎5 בריבוע.

$$x^{2}+10x+25=3000+25$$

הוסף את ‎3000 ל- ‎25.

$$x^{2}+10x+25=3025$$

פרק x^{2}+10x+25 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=3025$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{3025}$$

פשט.

$$x+5=55 x+5=-55$$

החסר ‎5 משני אגפי המשוואה.

$$x=50 x=-60$$