פתור את x^{2}+(x^{2}-2x)^2=10+(x+1)^2+(x^2-2x-3)^2

$$x ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x ) ^ { 2 } = 10 + ( x + 1 ) ^ { 2 } + ( x ^ { 2 } - 2 x - 3 ) ^ { 2 }$$

פתור עבור x

$$x=-1$$

$$x = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3.333333333$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

כדי להכפיל חזקות בעלות אותו בסיס, חבר את המעריכים שלהן. חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎4x^{2} כדי לקבל ‎5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

חבר את ‎10 ו- ‎1 כדי לקבל ‎11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

‎x^{2}-2x-3 בריבוע.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-2x^{2} כדי לקבל ‎-x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

כנס את ‎2x ו- ‎12x כדי לקבל ‎14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

חבר את ‎11 ו- ‎9 כדי לקבל ‎20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

החסר ‎20 משני האגפים.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

הוסף ‎x^{2} משני הצדדים.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

כנס את ‎5x^{2} ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

החסר ‎14x משני האגפים.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

החסר ‎x^{4} משני האגפים.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

כנס את ‎x^{4} ו- ‎-x^{4} כדי לקבל ‎0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

הוסף ‎4x^{3} משני הצדדים.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

כנס את ‎-4x^{3} ו- ‎4x^{3} כדי לקבל ‎0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

חלק את שני האגפים ב- ‎2.

$$3x^{2}-10-7x=0$$

סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$3x^{2}-7x-10=0$$

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- 3x^{2}+ax+bx-10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-7 ab=3\left(-10\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -7.

$$a=-10 b=3$$

שכתב את ‎3x^{2}-7x-10 כ- ‎\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right).

$$\left(3x^{2}-10x\right)+\left(3x-10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x ב- 3x^{2}-10x.

$$x\left(3x-10\right)+3x-10$$

הוצא את האיבר המשותף 3x-10 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3x-10\right)\left(x+1\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את 3x-10=0 ו- x+1=0.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

כדי להכפיל חזקות בעלות אותו בסיס, חבר את המעריכים שלהן. חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎4x^{2} כדי לקבל ‎5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

חבר את ‎10 ו- ‎1 כדי לקבל ‎11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

‎x^{2}-2x-3 בריבוע.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-2x^{2} כדי לקבל ‎-x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

כנס את ‎2x ו- ‎12x כדי לקבל ‎14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

חבר את ‎11 ו- ‎9 כדי לקבל ‎20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

החסר ‎20 משני האגפים.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

הוסף ‎x^{2} משני הצדדים.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20+x^{2}=14x+x^{4}-4x^{3}$$

כנס את ‎5x^{2} ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20=14x+x^{4}-4x^{3}$$

החסר ‎14x משני האגפים.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x=x^{4}-4x^{3}$$

החסר ‎x^{4} משני האגפים.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-20-14x-x^{4}=-4x^{3}$$

כנס את ‎x^{4} ו- ‎-x^{4} כדי לקבל ‎0.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x=-4x^{3}$$

הוסף ‎4x^{3} משני הצדדים.

$$6x^{2}-4x^{3}-20-14x+4x^{3}=0$$

כנס את ‎-4x^{3} ו- ‎4x^{3} כדי לקבל ‎0.

$$6x^{2}-20-14x=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$6x^{2}-14x-20=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 6 במקום a, ב- -14 במקום b, וב- -20 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

‎-14 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-20\right)}}{2\times 6}$$

הכפל את ‎-24 ב- ‎-20.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 6}$$

הוסף את ‎196 ל- ‎480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 6}$$

הוצא את השורש הריבועי של 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 6}$$

ההופכי של ‎-14 הוא ‎14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 6}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎6.

$$x=\frac{14±26}{12}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±26}{12} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎14 ל- ‎26.

$$x=\frac{40}{12}$$

צמצם את השבר ‎\frac{40}{12} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 4.

$$x=\frac{10}{3}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{14±26}{12} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎26 מ- ‎14.

$$x=-\frac{12}{12}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎12.

$$x=-1$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$

שלבים להשלמת הריבוע

השתמש בבינום של ניוטון \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x^{2}-2x\right)^{2}.

$$x^{2}+\left(x^{2}\right)^{2}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{2}x+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

כדי להכפיל חזקות בעלות אותו בסיס, חבר את המעריכים שלהן. חבר את ‎2 ו- ‎1 כדי לקבל ‎3.

$$x^{2}+x^{4}-4x^{3}+4x^{2}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎4x^{2} כדי לקבל ‎5x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+\left(x+1\right)^{2}+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

השתמש בבינום של ניוטון \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} כדי להרחיב את ‎\left(x+1\right)^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=10+x^{2}+2x+1+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

חבר את ‎10 ו- ‎1 כדי לקבל ‎11.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+\left(x^{2}-2x-3\right)^{2}$$

‎x^{2}-2x-3 בריבוע.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11+x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}-2x^{2}+12x+9$$

כנס את ‎x^{2} ו- ‎-2x^{2} כדי לקבל ‎-x^{2}.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+2x+x^{4}-4x^{3}+12x+9$$

כנס את ‎2x ו- ‎12x כדי לקבל ‎14x.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=11-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}+9$$

חבר את ‎11 ו- ‎9 כדי לקבל ‎20.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20-x^{2}+14x+x^{4}-4x^{3}$$

הוסף ‎x^{2} משני הצדדים.

$$5x^{2}+x^{4}-4x^{3}+x^{2}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

כנס את ‎5x^{2} ו- ‎x^{2} כדי לקבל ‎6x^{2}.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}=20+14x+x^{4}-4x^{3}$$

החסר ‎14x משני האגפים.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x=20+x^{4}-4x^{3}$$

החסר ‎x^{4} משני האגפים.

$$6x^{2}+x^{4}-4x^{3}-14x-x^{4}=20-4x^{3}$$

כנס את ‎x^{4} ו- ‎-x^{4} כדי לקבל ‎0.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x=20-4x^{3}$$

הוסף ‎4x^{3} משני הצדדים.

$$6x^{2}-4x^{3}-14x+4x^{3}=20$$

כנס את ‎-4x^{3} ו- ‎4x^{3} כדי לקבל ‎0.

$$6x^{2}-14x=20$$

חלק את שני האגפים ב- ‎6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{20}{6}$$

חילוק ב- ‎6 מבטל את ההכפלה ב- ‎6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{20}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-14}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{20}{6}$$

צמצם את השבר ‎\frac{20}{6} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{10}{3}$$

חלק את ‎-\frac{7}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{7}{6}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{7}{6} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{7}{6} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{10}{3}+\frac{49}{36}$$

הוסף את ‎\frac{10}{3} ל- ‎\frac{49}{36} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{169}{36}$$

פרק x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

פשט.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{13}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{13}{6}$$

הוסף ‎\frac{7}{6} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{10}{3} x=-1$$