פתור את x+2y=12,12=9x-2y

$$x + 2 y = 12,12 = 9 x - 2 y$$

פתור עבור x, y

$$x = \frac{12}{5} = 2\frac{2}{5} = 2.4$$

$$y = \frac{24}{5} = 4\frac{4}{5} = 4.8$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$9x-2y=12$$

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$x+2y=12$$

החסר ‎2y משני אגפי המשוואה.

$$x=-2y+12$$

השתמש ב- ‎-2y+12 במקום ‎x במשוואה השניה, ‎9x-2y=12.

$$9\left(-2y+12\right)-2y=12$$

הכפל את ‎9 ב- ‎-2y+12.

$$-18y+108-2y=12$$

הוסף את ‎-18y ל- ‎-2y.

$$-20y+108=12$$

החסר ‎108 משני אגפי המשוואה.

$$-20y=-96$$

חלק את שני האגפים ב- ‎-20.

$$y=\frac{24}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{24}{5} במקום y ב- ‎x=-2y+12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=-2\times \frac{24}{5}+12$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{24}{5}.

$$x=-\frac{48}{5}+12$$

הוסף את ‎12 ל- ‎-\frac{48}{5}.

$$x=\frac{12}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$9x-2y=12$$

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

עבור מטריצת 2\times 2 ‎\left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)‎, המטריצה ההפוכה היא ‎\left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right)‎, כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-2\times 9}&-\frac{2}{-2-2\times 9}\\-\frac{9}{-2-2\times 9}&\frac{1}{-2-2\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{9}{20}&-\frac{1}{20}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\12\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 12+\frac{1}{10}\times 12\\\frac{9}{20}\times 12-\frac{1}{20}\times 12\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{12}{5}\\\frac{24}{5}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

שקול את המשוואה השניה. החלף בין הצדדים כך שכל איברי המשתנים יופיעו בצד השמאלי.

$$9x-2y=12$$

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$x+2y=12,9x-2y=12$$

כדי להפוך את ‎x ו- ‎9x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎9 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎1.

$$9x+9\times 2y=9\times 12,9x-2y=12$$

פשט.

$$9x+18y=108,9x-2y=12$$

החסר את ‎9x-2y=12 מ- ‎9x+18y=108 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$9x-9x+18y+2y=108-12$$

הוסף את ‎9x ל- ‎-9x. האיברים ‎9x ו- ‎-9x מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$18y+2y=108-12$$

הוסף את ‎18y ל- ‎2y.

$$20y=108-12$$

הוסף את ‎108 ל- ‎-12.

$$20y=96$$

חלק את שני האגפים ב- ‎20.

$$y=\frac{24}{5}$$

השתמש ב- ‎\frac{24}{5} במקום y ב- ‎9x-2y=12. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$9x-2\times \frac{24}{5}=12$$

הכפל את ‎-2 ב- ‎\frac{24}{5}.

$$9x-\frac{48}{5}=12$$

הוסף ‎\frac{48}{5} לשני אגפי המשוואה.

$$9x=\frac{108}{5}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$x=\frac{12}{5}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{12}{5},y=\frac{24}{5}$$