פתור את u^2-41u+400=0

$$u ^ { 2 } - 41 u + 400 = 0$$

פתור עבור u

$$u=16$$

$$u=25$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את u^{2}-41u+400 לגורמים באמצעות הנוסחה u^{2}+\left(a+b\right)u+ab=\left(u+a\right)\left(u+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-41 ab=400$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -41.

$$a=-25 b=-16$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(u+a\right)\left(u+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(u-25\right)\left(u-16\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את u-25=0 ו- u-16=0.

$$u=25 u=16$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- u^{2}+au+bu+400. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-41 ab=1\times 400=400$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -41.

$$a=-25 b=-16$$

שכתב את ‎u^{2}-41u+400 כ- ‎\left(u^{2}-25u\right)+\left(-16u+400\right).

$$\left(u^{2}-25u\right)+\left(-16u+400\right)$$

הוצא את הגורם המשותף u בקבוצה הראשונה ואת -16 בקבוצה השניה.

$$u\left(u-25\right)-16\left(u-25\right)$$

הוצא את האיבר המשותף u-25 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(u-25\right)\left(u-16\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את u-25=0 ו- u-16=0.

$$u=25 u=16$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$u^{2}-41u+400=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -41 במקום b, וב- 400 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 400}}{2}$$

‎-41 בריבוע.

$$u=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 400}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎400.

$$u=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1600}}{2}$$

הוסף את ‎1681 ל- ‎-1600.

$$u=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{81}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 81.

$$u=\frac{-\left(-41\right)±9}{2}$$

ההופכי של ‎-41 הוא ‎41.

$$u=\frac{41±9}{2}$$

כעת פתור את המשוואה u=\frac{41±9}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎41 ל- ‎9.

$$u=\frac{50}{2}$$

חלק את ‎50 ב- ‎2.

$$u=25$$

כעת פתור את המשוואה u=\frac{41±9}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎9 מ- ‎41.

$$u=\frac{32}{2}$$

חלק את ‎32 ב- ‎2.

$$u=16$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$u=25 u=16$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$u^{2}-41u+400=0$$

החסר ‎400 משני אגפי המשוואה.

$$u^{2}-41u+400-400=-400$$

החסרת 400 מעצמו נותנת 0.

$$u^{2}-41u=-400$$

חלק את ‎-41, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{41}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{41}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$u^{2}-41u+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{41}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$u^{2}-41u+\frac{1681}{4}=-400+\frac{1681}{4}$$

הוסף את ‎-400 ל- ‎\frac{1681}{4}.

$$u^{2}-41u+\frac{1681}{4}=\frac{81}{4}$$

פרק u^{2}-41u+\frac{1681}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u-\frac{41}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(u-\frac{41}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

פשט.

$$u-\frac{41}{2}=\frac{9}{2} u-\frac{41}{2}=-\frac{9}{2}$$

הוסף ‎\frac{41}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$u=25 u=16$$