פתור את t^2-6t+1geq0

$$t ^ { 2 } - 6 t + 1 \geq 0$$

פתור עבור t

$$t\in (-\infty,3-2\sqrt{2}]\cup [2\sqrt{2}+3,\infty)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$t^{2}-6t+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-6 ב- b ואת ‎1 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$t=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎t=\frac{6±4\sqrt{2}}{2} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$t=2\sqrt{2}+3 t=3-2\sqrt{2}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$\left(t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\right)\left(t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\right)\geq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≥0‏, ‎t-\left(2\sqrt{2}+3\right) ו- ‎t-\left(3-2\sqrt{2}\right) חייבים שניהם להיות ≤0 או ≥0. שקול את המקרה כאשר ‎t-\left(2\sqrt{2}+3\right) ו- ‎t-\left(3-2\sqrt{2}\right) שניהם ≤0.

$$t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\leq 0 t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎t\leq 3-2\sqrt{2}.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}$$

שקול את המקרה כאשר ‎t-\left(2\sqrt{2}+3\right) ו- ‎t-\left(3-2\sqrt{2}\right) שניהם ≥0.

$$t-\left(3-2\sqrt{2}\right)\geq 0 t-\left(2\sqrt{2}+3\right)\geq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎t\geq 2\sqrt{2}+3.

$$t\geq 2\sqrt{2}+3$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$t\leq 3-2\sqrt{2}\text{; }t\geq 2\sqrt{2}+3$$