פתור את t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

פתור עבור t

$$t=-6$$

$$t=30$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את t^{2}-24t-180 לגורמים באמצעות הנוסחה t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-24 ab=-180$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -24.

$$a=-30 b=6$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(t+a\right)\left(t+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את t-30=0 ו- t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- t^{2}+at+bt-180. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -24.

$$a=-30 b=6$$

שכתב את ‎t^{2}-24t-180 כ- ‎\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

הוצא את הגורם המשותף t בקבוצה הראשונה ואת 6 בקבוצה השניה.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

הוצא את האיבר המשותף t-30 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את t-30=0 ו- t+6=0.

$$t=30 t=-6$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$t^{2}-24t-180=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -24 במקום b, וב- -180 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

‎-24 בריבוע.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

הוסף את ‎576 ל- ‎720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

ההופכי של ‎-24 הוא ‎24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{24±36}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎24 ל- ‎36.

$$t=\frac{60}{2}$$

חלק את ‎60 ב- ‎2.

$$t=30$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{24±36}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎36 מ- ‎24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎2.

$$t=-6$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$t=30 t=-6$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

הוסף ‎180 לשני אגפי המשוואה.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

החסרת -180 מעצמו נותנת 0.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

החסר ‎-180 מ- ‎0.

$$t^{2}-24t=180$$

חלק את ‎-24, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-12. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -12 לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

‎-12 בריבוע.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

הוסף את ‎180 ל- ‎144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

פרק t^{2}-24t+144 לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

פשט.

$$t-12=18 t-12=-18$$

הוסף ‎12 לשני אגפי המשוואה.

$$t=30 t=-6$$