פתור את s(t)=-16t^2+64t+80

$$s ( t ) = - 16 t ^ { 2 } + 64 t + 80$$

פרק לגורמים

$$-16\left(t-5\right)\left(t+1\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 16.

$$16\left(-t^{2}+4t+5\right)$$

שקול את -t^{2}+4t+5. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -t^{2}+at+bt+5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=4 ab=-5=-5$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=5 b=-1$$

שכתב את ‎-t^{2}+4t+5 כ- ‎\left(-t^{2}+5t\right)+\left(-t+5\right).

$$\left(-t^{2}+5t\right)+\left(-t+5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -t בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$-t\left(t-5\right)-\left(t-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף t-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(t-5\right)\left(-t-1\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$16\left(t-5\right)\left(-t-1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-16t^{2}+64t+80=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$t=\frac{-64±\sqrt{64^{2}-4\left(-16\right)\times 80}}{2\left(-16\right)}$$

‎64 בריבוע.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096-4\left(-16\right)\times 80}}{2\left(-16\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-16.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+64\times 80}}{2\left(-16\right)}$$

הכפל את ‎64 ב- ‎80.

$$t=\frac{-64±\sqrt{4096+5120}}{2\left(-16\right)}$$

הוסף את ‎4096 ל- ‎5120.

$$t=\frac{-64±\sqrt{9216}}{2\left(-16\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 9216.

$$t=\frac{-64±96}{2\left(-16\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-16.

$$t=\frac{-64±96}{-32}$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{-64±96}{-32} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-64 ל- ‎96.

$$t=\frac{32}{-32}$$

חלק את ‎32 ב- ‎-32.

$$t=-1$$

כעת פתור את המשוואה t=\frac{-64±96}{-32} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎96 מ- ‎-64.

$$t=-\frac{160}{-32}$$

חלק את ‎-160 ב- ‎-32.

$$t=5$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-1 במקום x_{1} וב- ‎5 במקום x_{2}.

$$-16t^{2}+64t+80=-16\left(t-\left(-1\right)\right)\left(t-5\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$-16t^{2}+64t+80=-16\left(t+1\right)\left(t-5\right)$$

הערך

$$-16\left(t-5\right)\left(t+1\right)$$