פתור את p^2-4p-117

$$p ^ { 2 } - 4 p - 117$$

פרק לגורמים

$$\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- p^{2}+ap+bp-117. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-4 ab=1\left(-117\right)=-117$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -117.

$$1,-117 3,-39 9,-13$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-117=-116 3-39=-36 9-13=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -4.

$$a=-13 b=9$$

שכתב את ‎p^{2}-4p-117 כ- ‎\left(p^{2}-13p\right)+\left(9p-117\right).

$$\left(p^{2}-13p\right)+\left(9p-117\right)$$

הוצא את הגורם המשותף p בקבוצה הראשונה ואת 9 בקבוצה השניה.

$$p\left(p-13\right)+9\left(p-13\right)$$

הוצא את האיבר המשותף p-13 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$p^{2}-4p-117=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\left(-117\right)}}{2}$$

‎-4 בריבוע.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\left(-117\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-117.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+468}}{2}$$

הוסף את ‎16 ל- ‎468.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{484}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 484.

$$p=\frac{-\left(-4\right)±22}{2}$$

ההופכי של ‎-4 הוא ‎4.

$$p=\frac{4±22}{2}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{4±22}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎4 ל- ‎22.

$$p=\frac{26}{2}$$

חלק את ‎26 ב- ‎2.

$$p=13$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{4±22}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎22 מ- ‎4.

$$p=-\frac{18}{2}$$

חלק את ‎-18 ב- ‎2.

$$p=-9$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎13 במקום x_{1} וב- ‎-9 במקום x_{2}.

$$p^{2}-4p-117=\left(p-13\right)\left(p-\left(-9\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$p^{2}-4p-117=\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$

הערך

$$\left(p-13\right)\left(p+9\right)$$