פתור את n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

פתור עבור n

$$n=-14$$

$$n=15$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את n^{2}-n-210 לגורמים באמצעות הנוסחה n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=-210$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-15 b=14$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(n+a\right)\left(n+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את n-15=0 ו- n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- n^{2}+an+bn-210. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -1.

$$a=-15 b=14$$

שכתב את ‎n^{2}-n-210 כ- ‎\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

הוצא את הגורם המשותף n בקבוצה הראשונה ואת 14 בקבוצה השניה.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

הוצא את האיבר המשותף n-15 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את n-15=0 ו- n+14=0.

$$n=15 n=-14$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n^{2}-n-210=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -1 במקום b, וב- -210 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

ההופכי של ‎-1 הוא ‎1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{1±29}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎1 ל- ‎29.

$$n=\frac{30}{2}$$

חלק את ‎30 ב- ‎2.

$$n=15$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{1±29}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎29 מ- ‎1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

חלק את ‎-28 ב- ‎2.

$$n=-14$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=15 n=-14$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

הוסף ‎210 לשני אגפי המשוואה.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

החסרת -210 מעצמו נותנת 0.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

החסר ‎-210 מ- ‎0.

$$n^{2}-n=210$$

חלק את ‎-1, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{1}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{1}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

הוסף את ‎210 ל- ‎\frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

פרק n^{2}-n+\frac{1}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

פשט.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

הוסף ‎\frac{1}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$n=15 n=-14$$