פתור את n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

פתור עבור n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

חשב את 2009 בחזקת 2 וקבל 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-4019 ב- b ואת ‎4036081 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≤0, אחד מהערכים ‎n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} ו- ‎n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} צריך להיות ≥0 והשני צריך להיות ≤0. התבונן במקרה שבו n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 ו- n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

זהו שקר עבור כל n.

$$n\in \emptyset$$

התבונן במקרה שבו n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 ו- n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$