פתור את n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

פתור עבור n

$$n=-4$$

$$n=15$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים

כדי לפתור את המשוואה, פרק את n^{2}-11n-60 לגורמים באמצעות הנוסחה n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-11 ab=-60$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -11.

$$a=-15 b=4$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים \left(n+a\right)\left(n+b\right) באמצעות הערכים שהתקבלו.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את n-15=0 ו- n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בפירוק לגורמים על-ידי קיבוץ

כדי לפתור את המשוואה, פרק את האגף השמאלי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את האגף השמאלי כ- n^{2}+an+bn-60. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -11.

$$a=-15 b=4$$

שכתב את ‎n^{2}-11n-60 כ- ‎\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

הוצא את הגורם המשותף n בקבוצה הראשונה ואת 4 בקבוצה השניה.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

הוצא את האיבר המשותף n-15 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

כדי למצוא פתרונות משוואה, פתור את n-15=0 ו- n+4=0.

$$n=15 n=-4$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n^{2}-11n-60=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -11 במקום b, וב- -60 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

‎-11 בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

הוסף את ‎121 ל- ‎240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

ההופכי של ‎-11 הוא ‎11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{11±19}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎11 ל- ‎19.

$$n=\frac{30}{2}$$

חלק את ‎30 ב- ‎2.

$$n=15$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{11±19}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎19 מ- ‎11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

חלק את ‎-8 ב- ‎2.

$$n=-4$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=15 n=-4$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

הוסף ‎60 לשני אגפי המשוואה.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

החסרת -60 מעצמו נותנת 0.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

החסר ‎-60 מ- ‎0.

$$n^{2}-11n=60$$

חלק את ‎-11, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{11}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{11}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{11}{2} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

הוסף את ‎60 ל- ‎\frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

פרק n^{2}-11n+\frac{121}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

פשט.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

הוסף ‎\frac{11}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$n=15 n=-4$$