פתור את n^2-sqrt{3}n+1=0

$$n ^ { 2 } - \sqrt { 3 } n + 1 = 0$$

פתור עבור n

$$n=\frac{\sqrt{3}+i}{2}\approx 0.866025404+0.5i$$

$$n=\frac{\sqrt{3}-i}{2}\approx 0.866025404-0.5i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

סדר מחדש את האיברים.

$$n^{2}-\sqrt{3}n+1=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+1=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 1 במקום a, ב- -\sqrt{3} במקום b, וב- 1 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^{2}-4}}{2}$$

‎-\sqrt{3} בריבוע.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{3-4}}{2}$$

הוסף את ‎3 ל- ‎-4.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±\sqrt{-1}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של -1.

$$n=\frac{-\left(-\sqrt{3}\right)±i}{2}$$

ההופכי של ‎-\sqrt{3} הוא ‎\sqrt{3}.

$$n=\frac{\sqrt{3}±i}{2}$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{\sqrt{3}±i}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎\sqrt{3} ל- ‎i.

$$n=\frac{\sqrt{3}+i}{2}$$

חלק את ‎\sqrt{3}+i ב- ‎2.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$$

כעת פתור את המשוואה n=\frac{\sqrt{3}±i}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎i מ- ‎\sqrt{3}.

$$n=\frac{\sqrt{3}-i}{2}$$

חלק את ‎\sqrt{3}-i ב- ‎2.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$

שלבים להשלמת הריבוע

החסר ‎1 משני האגפים. כל מספר המוחסר מאפס נותן את השלילה שלו.

$$n^{2}-\sqrt{3}n=-1$$

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n=-1$$

חלק את ‎-\sqrt{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{\sqrt{3}}{2}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{\sqrt{3}}{2} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

‎-\frac{\sqrt{3}}{2} בריבוע.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}=-1+\frac{3}{4}$$

הוסף את ‎-1 ל- ‎\frac{3}{4}.

$$n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4}=-\frac{1}{4}$$

פרק n^{2}+\left(-\sqrt{3}\right)n+\frac{3}{4} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(n-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1}{4}}$$

פשט.

$$n-\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}i n-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{1}{2}i$$

הוסף ‎\frac{\sqrt{3}}{2} לשני אגפי המשוואה.

$$n=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i n=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i$$