פתור את k^2-3k-180

$$k ^ { 2 } - 3 k - 180$$

פרק לגורמים

$$\left(k-15\right)\left(k+12\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- k^{2}+ak+bk-180. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=-15 b=12$$

שכתב את ‎k^{2}-3k-180 כ- ‎\left(k^{2}-15k\right)+\left(12k-180\right).

$$\left(k^{2}-15k\right)+\left(12k-180\right)$$

הוצא את הגורם המשותף k בקבוצה הראשונה ואת 12 בקבוצה השניה.

$$k\left(k-15\right)+12\left(k-15\right)$$

הוצא את האיבר המשותף k-15 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(k-15\right)\left(k+12\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$k^{2}-3k-180=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$k=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

‎-3 בריבוע.

$$k=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-180.

$$k=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎720.

$$k=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 729.

$$k=\frac{-\left(-3\right)±27}{2}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$k=\frac{3±27}{2}$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{3±27}{2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎27.

$$k=\frac{30}{2}$$

חלק את ‎30 ב- ‎2.

$$k=15$$

כעת פתור את המשוואה k=\frac{3±27}{2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎27 מ- ‎3.

$$k=-\frac{24}{2}$$

חלק את ‎-24 ב- ‎2.

$$k=-12$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎15 במקום x_{1} וב- ‎-12 במקום x_{2}.

$$k^{2}-3k-180=\left(k-15\right)\left(k-\left(-12\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$k^{2}-3k-180=\left(k-15\right)\left(k+12\right)$$

הערך

$$\left(k-15\right)\left(k+12\right)$$