פתור את g(p)=-60p^2+50p+10

$$g ( p ) = - 60 p ^ { 2 } + 50 p + 10$$

פרק לגורמים

$$10\left(1-p\right)\left(6p+1\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 10.

$$10\left(-6p^{2}+5p+1\right)$$

שקול את -6p^{2}+5p+1. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -6p^{2}+ap+bp+1. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=5 ab=-6=-6$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -6.

$$-1,6 -2,3$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 5.

$$a=6 b=-1$$

שכתב את ‎-6p^{2}+5p+1 כ- ‎\left(-6p^{2}+6p\right)+\left(-p+1\right).

$$\left(-6p^{2}+6p\right)+\left(-p+1\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 6p ב- -6p^{2}+6p.

$$6p\left(-p+1\right)-p+1$$

הוצא את האיבר המשותף -p+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-p+1\right)\left(6p+1\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$10\left(-p+1\right)\left(6p+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-60p^{2}+50p+10=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$p=\frac{-50±\sqrt{50^{2}-4\left(-60\right)\times 10}}{2\left(-60\right)}$$

‎50 בריבוע.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500-4\left(-60\right)\times 10}}{2\left(-60\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-60.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500+240\times 10}}{2\left(-60\right)}$$

הכפל את ‎240 ב- ‎10.

$$p=\frac{-50±\sqrt{2500+2400}}{2\left(-60\right)}$$

הוסף את ‎2500 ל- ‎2400.

$$p=\frac{-50±\sqrt{4900}}{2\left(-60\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 4900.

$$p=\frac{-50±70}{2\left(-60\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-60.

$$p=\frac{-50±70}{-120}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{-50±70}{-120} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-50 ל- ‎70.

$$p=\frac{20}{-120}$$

צמצם את השבר ‎\frac{20}{-120} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 20.

$$p=-\frac{1}{6}$$

כעת פתור את המשוואה p=\frac{-50±70}{-120} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎70 מ- ‎-50.

$$p=-\frac{120}{-120}$$

חלק את ‎-120 ב- ‎-120.

$$p=1$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-\frac{1}{6} במקום x_{1} וב- ‎1 במקום x_{2}.

$$-60p^{2}+50p+10=-60\left(p-\left(-\frac{1}{6}\right)\right)\left(p-1\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$-60p^{2}+50p+10=-60\left(p+\frac{1}{6}\right)\left(p-1\right)$$

הוסף את ‎\frac{1}{6} ל- ‎p על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$-60p^{2}+50p+10=-60\times \frac{-6p-1}{-6}\left(p-1\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎6 ב- ‎-60 ו- ‎6.

$$-60p^{2}+50p+10=10\left(-6p-1\right)\left(p-1\right)$$

הערך

$$10+50p-60p^{2}$$