פתור את f(x)=6x-2x^2+20

$$f ( x ) = 6 x - 2 x ^ { 2 } + 20$$

פרק לגורמים

$$-2\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 2.

$$2\left(3x-x^{2}+10\right)$$

שקול את 3x-x^{2}+10. סדר מחדש את הפולינום כדי להעביר אותה לצורה סטנדרטית. מקם את האיברים לפי הסדר מהחזקה הגבוהה ביותר לנמוכה ביותר.

$$-x^{2}+3x+10$$

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -x^{2}+ax+bx+10. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=3 ab=-10=-10$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -10.

$$-1,10 -2,5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 3.

$$a=5 b=-2$$

שכתב את ‎-x^{2}+3x+10 כ- ‎\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right).

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-2x+10\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -2 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-5\right)-2\left(x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$2\left(x-5\right)\left(-x-2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-2x^{2}+6x+20=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

‎6 בריבוע.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-2\right)\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+8\times 20}}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎8 ב- ‎20.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+160}}{2\left(-2\right)}$$

הוסף את ‎36 ל- ‎160.

$$x=\frac{-6±\sqrt{196}}{2\left(-2\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 196.

$$x=\frac{-6±14}{2\left(-2\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-2.

$$x=\frac{-6±14}{-4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±14}{-4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-6 ל- ‎14.

$$x=\frac{8}{-4}$$

חלק את ‎8 ב- ‎-4.

$$x=-2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-6±14}{-4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎14 מ- ‎-6.

$$x=-\frac{20}{-4}$$

חלק את ‎-20 ב- ‎-4.

$$x=5$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-2 במקום x_{1} וב- ‎5 במקום x_{2}.

$$-2x^{2}+6x+20=-2\left(x-\left(-2\right)\right)\left(x-5\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$-2x^{2}+6x+20=-2\left(x+2\right)\left(x-5\right)$$

הערך

$$-2\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$