פתור את f(x)=5x^2+10x-15

$$f ( x ) = 5 x ^ { 2 } + 10 x - 15$$

פרק לגורמים

$$5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 5.

$$5\left(x^{2}+2x-3\right)$$

שקול את x^{2}+2x-3. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- x^{2}+ax+bx-3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=2 ab=1\left(-3\right)=-3$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-1 b=3$$

שכתב את ‎x^{2}+2x-3 כ- ‎\left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(3x-3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$5x^{2}+10x-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

‎10 בריבוע.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 5\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎5.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-20\left(-15\right)}}{2\times 5}$$

הכפל את ‎-20 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+300}}{2\times 5}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎300.

$$x=\frac{-10±\sqrt{400}}{2\times 5}$$

הוצא את השורש הריבועי של 400.

$$x=\frac{-10±20}{2\times 5}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎5.

$$x=\frac{-10±20}{10}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±20}{10} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-10 ל- ‎20.

$$x=\frac{10}{10}$$

חלק את ‎10 ב- ‎10.

$$x=1$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±20}{10} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎20 מ- ‎-10.

$$x=-\frac{30}{10}$$

חלק את ‎-30 ב- ‎10.

$$x=-3$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎1 במקום x_{1} וב- ‎-3 במקום x_{2}.

$$5x^{2}+10x-15=5\left(x-1\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$5x^{2}+10x-15=5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$

הערך

$$5\left(x-1\right)\left(x+3\right)$$