פתור את f(x)=4x^2-15x+14

$$f ( x ) = 4 x ^ { 2 } - 15 x + 14$$

פרק לגורמים

$$\left(x-2\right)\left(4x-7\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 4x^{2}+ax+bx+14. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-15 ab=4\times 14=56$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -15.

$$a=-8 b=-7$$

שכתב את ‎4x^{2}-15x+14 כ- ‎\left(4x^{2}-8x\right)+\left(-7x+14\right).

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(-7x+14\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 4x בקבוצה הראשונה ואת -7 בקבוצה השניה.

$$4x\left(x-2\right)-7\left(x-2\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-2 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-2\right)\left(4x-7\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$4x^{2}-15x+14=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

‎-15 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 4\times 14}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-16\times 14}}{2\times 4}$$

הכפל את ‎-16 ב- ‎14.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-224}}{2\times 4}$$

הוסף את ‎225 ל- ‎-224.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{1}}{2\times 4}$$

הוצא את השורש הריבועי של 1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±1}{2\times 4}$$

ההופכי של ‎-15 הוא ‎15.

$$x=\frac{15±1}{2\times 4}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎4.

$$x=\frac{15±1}{8}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{15±1}{8} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎15 ל- ‎1.

$$x=\frac{16}{8}$$

חלק את ‎16 ב- ‎8.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{15±1}{8} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎1 מ- ‎15.

$$x=\frac{14}{8}$$

צמצם את השבר ‎\frac{14}{8} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{7}{4}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎2 במקום x_{1} וב- ‎\frac{7}{4} במקום x_{2}.

$$4x^{2}-15x+14=4\left(x-2\right)\left(x-\frac{7}{4}\right)$$

החסר את x מ- \frac{7}{4} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$4x^{2}-15x+14=4\left(x-2\right)\times \frac{4x-7}{4}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎4 ב- ‎4 ו- ‎4.

$$4x^{2}-15x+14=\left(x-2\right)\left(4x-7\right)$$

הערך

$$\left(x-2\right)\left(4x-7\right)$$