פתור את f(x)=2x^4+11x^3+15x^2-8x-20

$$f ( x ) = 2 x ^ { 4 } + 11 x ^ { 3 } + 15 x ^ { 2 } - 8 x - 20$$

פרק לגורמים

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -20 ו- q מחלק את המקדם המוביל 2. שורש אפשרי אחד הוא -\frac{5}{2}. פרק את הפולינום לגורמים על-ידי חלוקתו ב- 2x+5.

$$\left(2x+5\right)\left(x^{3}+3x^{2}-4\right)$$

שקול את x^{3}+3x^{2}-4. לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -4 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. שורש אפשרי אחד הוא -2. פרק את הפולינום לגורמים על-ידי חלוקתו ב- x+2.

$$\left(x+2\right)\left(x^{2}+x-2\right)$$

שקול את x^{2}+x-2. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- x^{2}+ax+bx-2. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=-1 b=2$$

שכתב את ‎x^{2}+x-2 כ- ‎\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(x^{2}-x\right)+\left(2x-2\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-1\right)\left(x+2\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$

הערך

$$\left(x-1\right)\left(2x+5\right)\left(x+2\right)^{2}$$