פתור את f(x)=2x^2-3x-5

$$f ( x ) = 2 x ^ { 2 } - 3 x - 5$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-5. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-3 ab=2\left(-5\right)=-10$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -10.

$$1,-10 2,-5$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -3.

$$a=-5 b=2$$

שכתב את ‎2x^{2}-3x-5 כ- ‎\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(2x-5\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x ב- 2x^{2}-5x.

$$x\left(2x-5\right)+2x-5$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}-3x-5=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

‎-3 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-5\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+40}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎9 ל- ‎40.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{49}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 49.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±7}{2\times 2}$$

ההופכי של ‎-3 הוא ‎3.

$$x=\frac{3±7}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{3±7}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±7}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎3 ל- ‎7.

$$x=\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{3±7}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎7 מ- ‎3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎4.

$$x=-1$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x_{1} וב- ‎-1 במקום x_{2}.

$$2x^{2}-3x-5=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-1\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}-3x-5=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+1\right)$$

החסר את x מ- \frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}-3x-5=2\times \frac{2x-5}{2}\left(x+1\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}-3x-5=\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$

הערך

$$\left(2x-5\right)\left(x+1\right)$$