פתור את f(x)=-x^3+3x^2+13x-15

$$f ( x ) = - x ^ { 3 } + 3 x ^ { 2 } + 13 x - 15$$

פרק לגורמים

$$\left(1-x\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right)$$

שלבי פתרון

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -15 ו- q מחלק את המקדם המוביל -1. שורש אפשרי אחד הוא 5. פרק את הפולינום לגורמים על-ידי חלוקתו ב- x-5.

$$\left(x-5\right)\left(-x^{2}-2x+3\right)$$

שקול את -x^{2}-2x+3. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -x^{2}+ax+bx+3. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-2 ab=-3=-3$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. הצמד היחיד מסוג זה הוא פתרון המערכת.

$$a=1 b=-3$$

שכתב את ‎-x^{2}-2x+3 כ- ‎\left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(-3x+3\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$x\left(-x+1\right)+3\left(-x+1\right)$$

הוצא את האיבר המשותף -x+1 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(-x+1\right)\left(x+3\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$\left(x-5\right)\left(-x+1\right)\left(x+3\right)$$

הערך

$$\left(1-x\right)\left(x-5\right)\left(x+3\right)$$