פתור את f(x)=-x^2+10x-16

$$f ( x ) = - x ^ { 2 } + 10 x - 16$$

פרק לגורמים

$$\left(2-x\right)\left(x-8\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -x^{2}+ax+bx-16. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=10 ab=-\left(-16\right)=16$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא חיובי, a ו- b שניהם חיוביים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 16.

$$1,16 2,8 4,4$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1+16=17 2+8=10 4+4=8$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 10.

$$a=8 b=2$$

שכתב את ‎-x^{2}+10x-16 כ- ‎\left(-x^{2}+8x\right)+\left(2x-16\right).

$$\left(-x^{2}+8x\right)+\left(2x-16\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת 2 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-8\right)+2\left(x-8\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-8 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-8\right)\left(-x+2\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-x^{2}+10x-16=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

‎10 בריבוע.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-1\right)\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+4\left(-16\right)}}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎4 ב- ‎-16.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-64}}{2\left(-1\right)}$$

הוסף את ‎100 ל- ‎-64.

$$x=\frac{-10±\sqrt{36}}{2\left(-1\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 36.

$$x=\frac{-10±6}{2\left(-1\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-1.

$$x=\frac{-10±6}{-2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±6}{-2} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-10 ל- ‎6.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

חלק את ‎-4 ב- ‎-2.

$$x=2$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-10±6}{-2} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6 מ- ‎-10.

$$x=-\frac{16}{-2}$$

חלק את ‎-16 ב- ‎-2.

$$x=8$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎2 במקום x_{1} וב- ‎8 במקום x_{2}.

$$-x^{2}+10x-16=-\left(x-2\right)\left(x-8\right)$$

הערך

$$\left(2-x\right)\left(x-8\right)$$