פתור את f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

הערך

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

שלבי פתרון

הערך את האינטגרל הבלתי מוגדר תחילה.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

שלב את איבר הסיכום לפי איבר.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

הוצא גורם משותף מהקבוע בכל אחד מהאיברים.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

מאחר ש\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} עבור k\neq -1, החלף את \int t^{2}\mathrm{d}t ב\frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

מאחר ש\int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} עבור k\neq -1, החלף את \int t\mathrm{d}t ב\frac{t^{2}}{2}. הכפל את ‎-1 ב- ‎\frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

האינטגרל המסוים הוא האנטי-נגזרת של הביטוי המוערך בגבול העליון של האינטגרציה פחות האנטי-נגזרת המוערכת בגבול התחתון של האינטגרציה.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

פשט.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

גזור ביחס ל- ‎x

$$x\left(x-1\right)$$