פתור את c^2=4sqrt{c^2+1}

$$c ^ { 2 } = 4 \sqrt { c ^ { 2 } + 1 }$$

פתור עבור c

$$c=2\sqrt{\sqrt{5}+2}\approx 4.116342055$$

$$c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2}\approx -4.116342055$$

שלבי פתרון

העלה את שני אגפי המשוואה בריבוע.

$$\left(c^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

כדי להעלות חזקה בחזקה אחרת, הכפל את המעריכים. הכפל את ‎2 ו- 2‎ כדי לקבל ‎4.

$$c^{4}=\left(4\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

פיתוח ‎\left(4\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}.

$$c^{4}=4^{2}\left(\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

חשב את 4 בחזקת 2 וקבל 16.

$$c^{4}=16\left(\sqrt{c^{2}+1}\right)^{2}$$

חשב את \sqrt{c^{2}+1} בחזקת 2 וקבל c^{2}+1.

$$c^{4}=16\left(c^{2}+1\right)$$

השתמש בחוק הפילוג כדי להכפיל את 16 ב- c^{2}+1.

$$c^{4}=16c^{2}+16$$

החסר ‎16c^{2} משני האגפים.

$$c^{4}-16c^{2}=16$$

החסר ‎16 משני האגפים.

$$c^{4}-16c^{2}-16=0$$

השתמש ב- ‎t במקום ‎c^{2}.

$$t^{2}-16t-16=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-16 ב- b ואת ‎-16 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 1\left(-16\right)}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$t=\frac{16±8\sqrt{5}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎t=\frac{16±8\sqrt{5}}{2} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$t=4\sqrt{5}+8 t=8-4\sqrt{5}$$

מאחר ש- c=t^{2}, הפתרונות מתקבלים על-ידי הערכת c=±\sqrt{t}‎ עבור t חיובי.

$$c=2\sqrt{\sqrt{5}+2} c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2}$$

השתמש ב- ‎2\sqrt{\sqrt{5}+2} במקום ‎c במשוואה ‎c^{2}=4\sqrt{c^{2}+1}.

$$\left(2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}=4\sqrt{\left(2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}+1}$$

פשט. הערך c=2\sqrt{\sqrt{5}+2} פותר את המשוואה.

$$4\times 5^{\frac{1}{2}}+8=4\times 5^{\frac{1}{2}}+8$$

השתמש ב- ‎-2\sqrt{\sqrt{5}+2} במקום ‎c במשוואה ‎c^{2}=4\sqrt{c^{2}+1}.

$$\left(-2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}=4\sqrt{\left(-2\sqrt{\sqrt{5}+2}\right)^{2}+1}$$

פשט. הערך c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2} פותר את המשוואה.

$$4\times 5^{\frac{1}{2}}+8=4\times 5^{\frac{1}{2}}+8$$

פרט את כל הפתרונות של c^{2}=4\sqrt{c^{2}+1}.

$$c=2\sqrt{\sqrt{5}+2} c=-2\sqrt{\sqrt{5}+2}$$