פתור את ax+3y=15text{ve}3x+by=4d

$$a x + 3 y = 15 \text { ve } 3 x + b y = 4 d$$

פתור עבור x, y (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$ax+3y=15$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$ax=-3y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{a} ב- ‎-3y+15.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

השתמש ב- ‎\frac{3\left(5-y\right)}{a} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+by=4d.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{3\left(5-y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{a} ל- ‎by.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

החסר ‎\frac{45}{a} משני אגפי המשוואה.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎b-\frac{9}{a}.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

השתמש ב- ‎\frac{4da-45}{ba-9} במקום y ב- ‎x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{a} ב- ‎\frac{4da-45}{ba-9}.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

הוסף את ‎\frac{15}{a} ל- ‎-\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

כדי להפוך את ‎ax ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎a.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

פשט.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

החסר את ‎3ax+aby=4ad מ- ‎3ax+9y=45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

הוסף את ‎3ax ל- ‎-3ax. האיברים ‎3ax ו- ‎-3ax מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-aby.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9-ab.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

השתמש ב- ‎\frac{45-4ad}{9-ab} במקום y ב- ‎3x+by=4d. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

הכפל את ‎b ב- ‎\frac{45-4ad}{9-ab}.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

החסר ‎\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

פתור עבור x, y

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{3\left(5b-4d\right)}{9-ab}\text{, }y=\frac{45-4ad}{9-ab}\text{, }&b=0\text{ or }a\neq \frac{9}{b}\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=\frac{15-ax}{3}\text{, }&d=\frac{45}{4a}\text{ and }b=\frac{9}{a}\text{ and }a\neq 0\end{matrix}\right.$$

שלבים הכוללים שימוש בהחלפה

כדי לפתור זוג משוואות באמצעות החלפה, תחילה פתור אחת מהמשוואות עבור אחד מהמשתנים. לאחר מכן החלף את התוצאה עבור משתנה זה במשוואה השניה.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

בחר אחת מהמשוואות ופתור אותה עבור x על-ידי בידוד x בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$ax+3y=15$$

החסר ‎3y משני אגפי המשוואה.

$$ax=-3y+15$$

חלק את שני האגפים ב- ‎a.

$$x=\frac{1}{a}\left(-3y+15\right)$$

הכפל את ‎\frac{1}{a} ב- ‎-3y+15.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}$$

השתמש ב- ‎\frac{3\left(5-y\right)}{a} במקום ‎x במשוואה השניה, ‎3x+by=4d.

$$3\left(\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}\right)+by=4d$$

הכפל את ‎3 ב- ‎\frac{3\left(5-y\right)}{a}.

$$\left(-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}+by=4d$$

הוסף את ‎-\frac{9y}{a} ל- ‎by.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y+\frac{45}{a}=4d$$

החסר ‎\frac{45}{a} משני אגפי המשוואה.

$$\left(b-\frac{9}{a}\right)y=4d-\frac{45}{a}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎b-\frac{9}{a}.

$$y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

השתמש ב- ‎\frac{4da-45}{ba-9} במקום y ב- ‎x=\left(-\frac{3}{a}\right)y+\frac{15}{a}. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$x=\left(-\frac{3}{a}\right)\times \frac{4ad-45}{ab-9}+\frac{15}{a}$$

הכפל את ‎-\frac{3}{a} ב- ‎\frac{4da-45}{ba-9}.

$$x=-\frac{3\left(4ad-45\right)}{a\left(ab-9\right)}+\frac{15}{a}$$

הוסף את ‎\frac{15}{a} ל- ‎-\frac{3\left(4da-45\right)}{a\left(ba-9\right)}.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

שלבים הכוללים שימוש במטריצות

העבר את המשוואות לצורה סטנדרטית ולאחר מכן השתמש במטריצות כדי לפתור את מערכת המשוואות.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

כתוב את המשוואות בצורת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

הכפל את המשוואה שבצד השמאלי במטריצה ההופכית של \left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

המכפלה של מטריצה וההופכי שלה היא מטריצת הזהות.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות בצד השמאלי של סימן השוויון.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&3\\3&b\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

עבור המטריצה 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), המטריצה ההפוכה היא \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), כדי שניתן יהיה לכתוב מחדש את משוואת המטריצה כבעיית הכפלת מטריצה.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-3\times 3}&-\frac{3}{ab-3\times 3}\\-\frac{3}{ab-3\times 3}&\frac{a}{ab-3\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}&-\frac{3}{ab-9}\\-\frac{3}{ab-9}&\frac{a}{ab-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\4d\end{matrix}\right)$$

הכפל את המטריצות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{ab-9}\times 15+\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 4d\\\left(-\frac{3}{ab-9}\right)\times 15+\frac{a}{ab-9}\times 4d\end{matrix}\right)$$

בצע את הפעולות האריתמטיות.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9}\\\frac{4ad-45}{ab-9}\end{matrix}\right)$$

חלץ את רכיבי המטריצה x ו- y.

$$x=\frac{3\left(5b-4d\right)}{ab-9},y=\frac{4ad-45}{ab-9}$$

שלבים הכוללים שימוש באלימינציה

כדי לפתור באמצעות אלימינציה, המקדמים של אחד מהמשתנים חייבים להיות זהים בשתי המשוואות כדי שהמשתנה יתבטל בעת החסרת משוואה אחת מהשניה.

$$ax+3y=15,3x+by=4d$$

כדי להפוך את ‎ax ו- ‎3x לשווים, הכפל את כל האיברים בכל אגף של המשוואה הראשונה ב- ‎3 ואת כל האיברים בכל אגף של המשוואה השניה ב- ‎a.

$$3ax+3\times 3y=3\times 15,a\times 3x+aby=a\times 4d$$

פשט.

$$3ax+9y=45,3ax+aby=4ad$$

החסר את ‎3ax+aby=4ad מ- ‎3ax+9y=45 על-ידי חיסור איברים דומים בכל אחד מהצדדים של סימן השוויון.

$$3ax+\left(-3a\right)x+9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

הוסף את ‎3ax ל- ‎-3ax. האיברים ‎3ax ו- ‎-3ax מבטלים זה את זה, ונותרת משוואה שכוללת משתנה אחד בלבד ושניתן לפתור אותה.

$$9y+\left(-ab\right)y=45-4ad$$

הוסף את ‎9y ל- ‎-aby.

$$\left(9-ab\right)y=45-4ad$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9-ab.

$$y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$

השתמש ב- ‎\frac{45-4ad}{9-ab} במקום y ב- ‎3x+by=4d. מאחר שהמשוואה המתקבלת מכילה משתנה אחד בלבד, ניתן לפתור את x ישירות.

$$3x+b\times \frac{45-4ad}{9-ab}=4d$$

הכפל את ‎b ב- ‎\frac{45-4ad}{9-ab}.

$$3x+\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab}=4d$$

החסר ‎\frac{b\left(45-4ad\right)}{9-ab} משני אגפי המשוואה.

$$3x=\frac{9\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

חלק את שני האגפים ב- ‎3.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab}$$

המערכת נפתרה כעת.

$$x=\frac{3\left(4d-5b\right)}{9-ab},y=\frac{45-4ad}{9-ab}$$