פתור את a^5-6a^4+16a^3-32a^2+48a-32

$$a ^ { 5 } - 6 a ^ { 4 } + 16 a ^ { 3 } - 32 a ^ { 2 } + 48 a - 32$$

פרק לגורמים

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

שלבי פתרון

כדי לפרק את הביטוי, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -32 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±32,±16,±8,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$a=2$$

לפי משפט הגורמים , a-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎a^{5}-6a^{4}+16a^{3}-32a^{2}+48a-32 ב- ‎a-2 כדי לקבל ‎a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע 16 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±16,±8,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$a=2$$

לפי משפט הגורמים , a-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎a^{4}-4a^{3}+8a^{2}-16a+16 ב- ‎a-2 כדי לקבל ‎a^{3}-2a^{2}+4a-8. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$a^{3}-2a^{2}+4a-8=0$$

לפי משפט השורש הרציונלי, כל השורשים הרציונליים של פולינום הם בצורה \frac{p}{q}, כאשר p מחלק את האיבר הקבוע -8 ו- q מחלק את המקדם המוביל 1. פרט את כל המועמדים \frac{p}{q}.

$$±8,±4,±2,±1$$

מצא שורש כזה בכך שתנסה את כל ערכי המספרים השלמים, החל מהערך הקטן ביותר לפי ערך מוחלט. אם לא נמצאו שורשי מספרים שלמים, נסה שברים.

$$a=2$$

לפי משפט הגורמים , a-k הוא גורם של הפולינום עבור כל שורש k. חלק את ‎a^{3}-2a^{2}+4a-8 ב- ‎a-2 כדי לקבל ‎a^{2}+4. כדי לפרק את התוצאה, פתור את המשוואה שבה היא שווה ל 0.

$$a^{2}+4=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎0 ב- b ואת ‎4 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$a=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$a=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

הפולינום a^{2}+4 אינו מפורק לגורמים מכיוון שאין לו שורשים רציונליים.

$$a^{2}+4$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים באמצעות השורשים שהתקבלו.

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$

הערך

$$\left(a^{2}+4\right)\left(a-2\right)^{3}$$