פתור את a^2-68a+225leq0

$$a ^ { 2 } - 68 a + 225 \leq 0$$

פתור עבור a

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

כדי לפתור את אי-השוויון, פרק לגורמים את האגף השמאלי. ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$a^{2}-68a+225=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: ‎\frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}‎. החלף את ‎1 ב- a, את ‎-68 ב- b ואת ‎225 ב- c בנוסחה הריבועית.

$$a=\frac{-\left(-68\right)±\sqrt{\left(-68\right)^{2}-4\times 1\times 225}}{2}$$

בצע את החישובים.

$$a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2}$$

פתור את המשוואה ‎a=\frac{68±14\sqrt{19}}{2} כאשר ± הוא סימן חיבור וכאשר ± הוא סימן חיסור.

$$a=7\sqrt{19}+34 a=34-7\sqrt{19}$$

שכתב את אי-שוויון באמצעות הפתרונות שהתקבלו.

$$\left(a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\right)\left(a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\right)\leq 0$$

כדי שהמכפלה תהיה ≤0, אחד מהערכים ‎a-\left(7\sqrt{19}+34\right) ו- ‎a-\left(34-7\sqrt{19}\right) צריך להיות ≥0 והשני צריך להיות ≤0. התבונן במקרה שבו a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 ו- a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0.

$$a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\geq 0 a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\leq 0$$

זהו שקר עבור כל a.

$$a\in \emptyset$$

התבונן במקרה שבו a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0 ו- a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0.

$$a-\left(34-7\sqrt{19}\right)\geq 0 a-\left(7\sqrt{19}+34\right)\leq 0$$

הפתרון העונה על שני מצבי אי-השוויון הוא ‎a\in \left[34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\right].

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$

הפתרון הסופי הוא האיחוד של הפתרונות שהתקבלו.

$$a\in \begin{bmatrix}34-7\sqrt{19},7\sqrt{19}+34\end{bmatrix}$$