פתור את M(x)=-25x^2+100x+8000

$$M ( x ) = - 25 x ^ { 2 } + 100 x + 8000$$

פרק לגורמים

$$-25\left(x-20\right)\left(x+16\right)$$

שלבי פתרון

הוצא את הגורם המשותף 25.

$$25\left(-x^{2}+4x+320\right)$$

שקול את -x^{2}+4x+320. פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- -x^{2}+ax+bx+320. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=4 ab=-320=-320$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -320.

$$-1,320 -2,160 -4,80 -5,64 -8,40 -10,32 -16,20$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+320=319 -2+160=158 -4+80=76 -5+64=59 -8+40=32 -10+32=22 -16+20=4$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 4.

$$a=20 b=-16$$

שכתב את ‎-x^{2}+4x+320 כ- ‎\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-16x+320\right).

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-16x+320\right)$$

הוצא את הגורם המשותף -x בקבוצה הראשונה ואת -16 בקבוצה השניה.

$$-x\left(x-20\right)-16\left(x-20\right)$$

הוצא את האיבר המשותף x-20 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(x-20\right)\left(-x-16\right)$$

שכתב את הביטוי המפורק לגורמים המלא.

$$25\left(x-20\right)\left(-x-16\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$-25x^{2}+100x+8000=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-100±\sqrt{100^{2}-4\left(-25\right)\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

‎100 בריבוע.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000-4\left(-25\right)\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎-25.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+100\times 8000}}{2\left(-25\right)}$$

הכפל את ‎100 ב- ‎8000.

$$x=\frac{-100±\sqrt{10000+800000}}{2\left(-25\right)}$$

הוסף את ‎10000 ל- ‎800000.

$$x=\frac{-100±\sqrt{810000}}{2\left(-25\right)}$$

הוצא את השורש הריבועי של 810000.

$$x=\frac{-100±900}{2\left(-25\right)}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎-25.

$$x=\frac{-100±900}{-50}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-100±900}{-50} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-100 ל- ‎900.

$$x=\frac{800}{-50}$$

חלק את ‎800 ב- ‎-50.

$$x=-16$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-100±900}{-50} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎900 מ- ‎-100.

$$x=-\frac{1000}{-50}$$

חלק את ‎-1000 ב- ‎-50.

$$x=20$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎-16 במקום x_{1} וב- ‎20 במקום x_{2}.

$$-25x^{2}+100x+8000=-25\left(x-\left(-16\right)\right)\left(x-20\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$-25x^{2}+100x+8000=-25\left(x+16\right)\left(x-20\right)$$

הערך

$$-25\left(x-20\right)\left(x+16\right)$$