פתור את F(x)=2x^2+x-15

$$F ( x ) = 2 x ^ { 2 } + x - 15$$

פרק לגורמים

$$\left(2x-5\right)\left(x+3\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 2x^{2}+ax+bx-15. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא חיובי, למספר החיובי יש ערך מוחלט גדול יותר מהשלילי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום 1.

$$a=-5 b=6$$

שכתב את ‎2x^{2}+x-15 כ- ‎\left(2x^{2}-5x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(2x^{2}-5x\right)+\left(6x-15\right)$$

הוצא את הגורם המשותף x בקבוצה הראשונה ואת 3 בקבוצה השניה.

$$x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 2x-5 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(2x-5\right)\left(x+3\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$2x^{2}+x-15=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

‎1 בריבוע.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

הכפל את ‎-8 ב- ‎-15.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+120}}{2\times 2}$$

הוסף את ‎1 ל- ‎120.

$$x=\frac{-1±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

הוצא את השורש הריבועי של 121.

$$x=\frac{-1±11}{2\times 2}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎2.

$$x=\frac{-1±11}{4}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎-1 ל- ‎11.

$$x=\frac{10}{4}$$

צמצם את השבר ‎\frac{10}{4} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$x=\frac{5}{2}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{-1±11}{4} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎11 מ- ‎-1.

$$x=-\frac{12}{4}$$

חלק את ‎-12 ב- ‎4.

$$x=-3$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{5}{2} במקום x_{1} וב- ‎-3 במקום x_{2}.

$$2x^{2}+x-15=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-3\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$2x^{2}+x-15=2\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+3\right)$$

החסר את x מ- \frac{5}{2} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$2x^{2}+x-15=2\times \frac{2x-5}{2}\left(x+3\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎2 ב- ‎2 ו- ‎2.

$$2x^{2}+x-15=\left(2x-5\right)\left(x+3\right)$$

הערך

$$\left(2x-5\right)\left(x+3\right)$$