פתור את 90m^2-137m-45

$$90 m ^ { 2 } - 137 m - 45$$

פרק לגורמים

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 90m^{2}+am+bm-45. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-137 ab=90\left(-45\right)=-4050$$

מאחר ש- ab הוא שלילי, ל- a ול- b יש סימנים הפוכים. מאחר ש- a+b הוא שלילי, למספר השלילי יש ערך מוחלט גדול יותר מהחיובי. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה -4050.

$$1,-4050 2,-2025 3,-1350 5,-810 6,-675 9,-450 10,-405 15,-270 18,-225 25,-162 27,-150 30,-135 45,-90 50,-81 54,-75$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$1-4050=-4049 2-2025=-2023 3-1350=-1347 5-810=-805 6-675=-669 9-450=-441 10-405=-395 15-270=-255 18-225=-207 25-162=-137 27-150=-123 30-135=-105 45-90=-45 50-81=-31 54-75=-21$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -137.

$$a=-162 b=25$$

שכתב את ‎90m^{2}-137m-45 כ- ‎\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right).

$$\left(90m^{2}-162m\right)+\left(25m-45\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 18m בקבוצה הראשונה ואת 5 בקבוצה השניה.

$$18m\left(5m-9\right)+5\left(5m-9\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 5m-9 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$90m^{2}-137m-45=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{\left(-137\right)^{2}-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

‎-137 בריבוע.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-4\times 90\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎90.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769-360\left(-45\right)}}{2\times 90}$$

הכפל את ‎-360 ב- ‎-45.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{18769+16200}}{2\times 90}$$

הוסף את ‎18769 ל- ‎16200.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±\sqrt{34969}}{2\times 90}$$

הוצא את השורש הריבועי של 34969.

$$m=\frac{-\left(-137\right)±187}{2\times 90}$$

ההופכי של ‎-137 הוא ‎137.

$$m=\frac{137±187}{2\times 90}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎90.

$$m=\frac{137±187}{180}$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{137±187}{180} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎137 ל- ‎187.

$$m=\frac{324}{180}$$

צמצם את השבר ‎\frac{324}{180} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 36.

$$m=\frac{9}{5}$$

כעת פתור את המשוואה m=\frac{137±187}{180} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎187 מ- ‎137.

$$m=-\frac{50}{180}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-50}{180} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 10.

$$m=-\frac{5}{18}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{9}{5} במקום x_{1} וב- ‎-\frac{5}{18} במקום x_{2}.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{18}\right)\right)$$

פשט את כל הביטויים של הצורה ‎p-\left(-q\right)‎ ל- p+q.

$$90m^{2}-137m-45=90\left(m-\frac{9}{5}\right)\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

החסר את m מ- \frac{9}{5} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\left(m+\frac{5}{18}\right)$$

הוסף את ‎\frac{5}{18} ל- ‎m על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{5m-9}{5}\times \frac{18m+5}{18}$$

הכפל את ‎\frac{5m-9}{5} ב- ‎\frac{18m+5}{18} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{5\times 18}$$

הכפל את ‎5 ב- ‎18.

$$90m^{2}-137m-45=90\times \frac{\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)}{90}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎90 ב- ‎90 ו- ‎90.

$$90m^{2}-137m-45=\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$

הערך

$$\left(5m-9\right)\left(18m+5\right)$$