פתור את 9z^2-42z+49=

$$9 z ^ { 2 } - 42 z + 49 =$$

פרק לגורמים

$$\left(3z-7\right)^{2}$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 9z^{2}+az+bz+49. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-42 ab=9\times 49=441$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 441.

$$-1,-441 -3,-147 -7,-63 -9,-49 -21,-21$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-441=-442 -3-147=-150 -7-63=-70 -9-49=-58 -21-21=-42$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -42.

$$a=-21 b=-21$$

שכתב את ‎9z^{2}-42z+49 כ- ‎\left(9z^{2}-21z\right)+\left(-21z+49\right).

$$\left(9z^{2}-21z\right)+\left(-21z+49\right)$$

הוצא את הגורם המשותף 3z בקבוצה הראשונה ואת -7 בקבוצה השניה.

$$3z\left(3z-7\right)-7\left(3z-7\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 3z-7 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)$$

כתוב מחדש כריבוע בינומי.

$$\left(3z-7\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בריבוע הבינום

לטרינום זה יש צורה של ריבוע טרינומי, שייתכן כי הוכפל בגורם משותף. ניתן לפרק ריבועים טרינומיים לגורמים על-ידי מציאת השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר.

$$factor(9z^{2}-42z+49)$$

מצא את הגורם המשותף הגדול ביותר של המקדמים.

$$gcf(9,-42,49)=1$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר המוביל, 9z^{2}.

$$\sqrt{9z^{2}}=3z$$

מצא את השורש הריבועי של האיבר הנגרר, 49.

$$\sqrt{49}=7$$

הריבוע הטרינומי הוא הריבוע של הבינום שהוא הסכום או ההפרש של השורשים הריבועיים של האיבר המוביל והאיבר הנגרר, כשהסימן נקבע לפי סימן האיבר האמצעי של הריבוע הטרינומי.

$$\left(3z-7\right)^{2}$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$9z^{2}-42z+49=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

‎-42 בריבוע.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 9\times 49}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-36\times 49}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎49.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-1764}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎1764 ל- ‎-1764.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 0.

$$z=\frac{-\left(-42\right)±0}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-42 הוא ‎42.

$$z=\frac{42±0}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$z=\frac{42±0}{18}$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{7}{3} במקום x_{1} וב- ‎\frac{7}{3} במקום x_{2}.

$$9z^{2}-42z+49=9\left(z-\frac{7}{3}\right)\left(z-\frac{7}{3}\right)$$

החסר את z מ- \frac{7}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{3z-7}{3}\left(z-\frac{7}{3}\right)$$

החסר את z מ- \frac{7}{3} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{3z-7}{3}\times \frac{3z-7}{3}$$

הכפל את ‎\frac{3z-7}{3} ב- ‎\frac{3z-7}{3} על-ידי הכפלת המונה במונה והמכנה במכנה. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)}{3\times 3}$$

הכפל את ‎3 ב- ‎3.

$$9z^{2}-42z+49=9\times \frac{\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)}{9}$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎9 ב- ‎9 ו- ‎9.

$$9z^{2}-42z+49=\left(3z-7\right)\left(3z-7\right)$$

הערך

$$\left(3z-7\right)^{2}$$