פתור את 9y^2-31y+22

$$9 y ^ { 2 } - 31 y + 22$$

פרק לגורמים

$$\left(y-1\right)\left(9y-22\right)$$

שלבי פתרון

פרק את הביטוי לגורמים על-ידי קיבוץ. תחילה, יש לשכתב את הביטוי כ- 9y^{2}+ay+by+22. כדי למצוא את a ו- b, הגדר מערכת לפתרון.

$$a+b=-31 ab=9\times 22=198$$

מאחר ש- ab הוא חיובי, ל- a ול- b יש אותו סימן. מאחר ש- a+b הוא שלילי, a ו- b שניהם שליליים. פרט את כל צמדי המספרים השלמים שנותנים את המכפלה 198.

$$-1,-198 -2,-99 -3,-66 -6,-33 -9,-22 -11,-18$$

חשב את הסכום של כל צמד.

$$-1-198=-199 -2-99=-101 -3-66=-69 -6-33=-39 -9-22=-31 -11-18=-29$$

הפתרון הוא הצמד שנותן את הסכום -31.

$$a=-22 b=-9$$

שכתב את ‎9y^{2}-31y+22 כ- ‎\left(9y^{2}-22y\right)+\left(-9y+22\right).

$$\left(9y^{2}-22y\right)+\left(-9y+22\right)$$

הוצא את הגורם המשותף y בקבוצה הראשונה ואת -1 בקבוצה השניה.

$$y\left(9y-22\right)-\left(9y-22\right)$$

הוצא את האיבר המשותף 9y-22 באמצעות חוק הפילוג.

$$\left(9y-22\right)\left(y-1\right)$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפרק פולינום ריבועי לגורמים באמצעות הטרנספורמציה ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎, כאשר x_{1} ו- x_{2} הם הפתרונות של המשוואה הריבועית ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}-31y+22=0$$

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 9\times 22}}{2\times 9}$$

‎-31 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 9\times 22}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-36\times 22}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎22.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-792}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎961 ל- ‎-792.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{169}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 169.

$$y=\frac{-\left(-31\right)±13}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-31 הוא ‎31.

$$y=\frac{31±13}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$y=\frac{31±13}{18}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{31±13}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎31 ל- ‎13.

$$y=\frac{44}{18}$$

צמצם את השבר ‎\frac{44}{18} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 2.

$$y=\frac{22}{9}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{31±13}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎13 מ- ‎31.

$$y=\frac{18}{18}$$

חלק את ‎18 ב- ‎18.

$$y=1$$

פרק את הביטוי המקורי לגורמים באמצעות ‎ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)‎. השתמש ב- ‎\frac{22}{9} במקום x_{1} וב- ‎1 במקום x_{2}.

$$9y^{2}-31y+22=9\left(y-\frac{22}{9}\right)\left(y-1\right)$$

החסר את y מ- \frac{22}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף והחסרת המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$9y^{2}-31y+22=9\times \frac{9y-22}{9}\left(y-1\right)$$

בטל את הגורם המשותף הגדול ביותר ‎9 ב- ‎9 ו- ‎9.

$$9y^{2}-31y+22=\left(9y-22\right)\left(y-1\right)$$

הערך

$$\left(y-1\right)\left(9y-22\right)$$