פתור את 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

פתור עבור y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1.138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0.195262146$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -12 במקום b, וב- 2 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

‎-12 בריבוע.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎144 ל- ‎-72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-12 הוא ‎12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎12 ל- ‎6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

חלק את ‎12+6\sqrt{2} ב- ‎18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

כעת פתור את המשוואה y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎6\sqrt{2} מ- ‎12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

חלק את ‎12-6\sqrt{2} ב- ‎18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

החסר ‎2 משני אגפי המשוואה.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

החסרת 2 מעצמו נותנת 0.

$$9y^{2}-12y=-2$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-12}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

חלק את ‎-\frac{4}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{2}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{2}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{2}{9} ל- ‎\frac{4}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

פרק y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

פשט.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

הוסף ‎\frac{2}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$