פתור את 9x^2-48x+68=0

$$9 x ^ { 2 } - 48 x + 68 = 0$$

פתור עבור x (complex solution)

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i\approx 2.666666667+0.666666667i$$

$$x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i\approx 2.666666667-0.666666667i$$

שלבים הכוללים שימוש בנוסחה הריבועית

ניתן לפתור את כל המשוואות בצורה ax^{2}+bx+c=0 באמצעות הנוסחה הריבועית: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. הנוסחה הריבועית נותנת שני פתרונות, אחד כאשר ± כולל פעולת חיבור ואחד כאשר הוא כולל פעולת חיסור.

$$9x^{2}-48x+68=0$$

למשוואה זו יש צורה סטנדרטית: ax^{2}+bx+c=0. השתמש ב- 9 במקום a, ב- -48 במקום b, וב- 68 במקום c בנוסחה הריבועית, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{\left(-48\right)^{2}-4\times 9\times 68}}{2\times 9}$$

‎-48 בריבוע.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-4\times 9\times 68}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-4 ב- ‎9.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-36\times 68}}{2\times 9}$$

הכפל את ‎-36 ב- ‎68.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{2304-2448}}{2\times 9}$$

הוסף את ‎2304 ל- ‎-2448.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±\sqrt{-144}}{2\times 9}$$

הוצא את השורש הריבועי של -144.

$$x=\frac{-\left(-48\right)±12i}{2\times 9}$$

ההופכי של ‎-48 הוא ‎48.

$$x=\frac{48±12i}{2\times 9}$$

הכפל את ‎2 ב- ‎9.

$$x=\frac{48±12i}{18}$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{48±12i}{18} כאשר ± כולל סימן חיבור. הוסף את ‎48 ל- ‎12i.

$$x=\frac{48+12i}{18}$$

חלק את ‎48+12i ב- ‎18.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i$$

כעת פתור את המשוואה x=\frac{48±12i}{18} כאשר ± כולל סימן חיסור. החסר ‎12i מ- ‎48.

$$x=\frac{48-12i}{18}$$

חלק את ‎48-12i ב- ‎18.

$$x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$

המשוואה נפתרה כעת.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$

שלבים להשלמת הריבוע

ניתן לפתור משוואות ריבועיות כגון זו בשיטת השלמת הריבוע. כדי להשלים את הריבוע, המשוואה חייבת תחילה להיות בצורה x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-48x+68=0$$

החסר ‎68 משני אגפי המשוואה.

$$9x^{2}-48x+68-68=-68$$

החסרת 68 מעצמו נותנת 0.

$$9x^{2}-48x=-68$$

חלק את שני האגפים ב- ‎9.

$$\frac{9x^{2}-48x}{9}=-\frac{68}{9}$$

חילוק ב- ‎9 מבטל את ההכפלה ב- ‎9.

$$x^{2}+\left(-\frac{48}{9}\right)x=-\frac{68}{9}$$

צמצם את השבר ‎\frac{-48}{9} לאיברים נמוכים יותר על-ידי ביטול 3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{68}{9}$$

חלק את ‎-\frac{16}{3}, המקדם של האיבר x, ב- 2 כדי לקבל ‎-\frac{8}{3}. לאחר מכן הוסף את הריבוע של -\frac{8}{3} לשני אגפי המשוואה. שלב זה הופך את האגף השמאלי של המשוואה לריבוע מושלם.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{68}{9}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

העלה את ‎-\frac{8}{3} בריבוע על-ידי העלאת המונה והמכנה של השבר בריבוע.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{-68+64}{9}$$

הוסף את ‎-\frac{68}{9} ל- ‎\frac{64}{9} על-ידי מציאת מכנה משותף וחיבור המונים. לאחר מכן צמצם את השבר לאיברים הקטנים ביותר אם הדבר אפשרי.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{4}{9}$$

פרק x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9} לגורמים. באופן כללי, x^{2}+bx+c הוא ריבוע מושלם, ניתן תמיד לפרק אותו לגורמים \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}$$

הוצא את השורש הריבועי של שני אגפי המשוואה.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{4}{9}}$$

פשט.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{2}{3}i x-\frac{8}{3}=-\frac{2}{3}i$$

הוסף ‎\frac{8}{3} לשני אגפי המשוואה.

$$x=\frac{8}{3}+\frac{2}{3}i x=\frac{8}{3}-\frac{2}{3}i$$